Integrar por sustitución  consiste en  sustituir el integrando o parte de éste por otra función para que la expresión resultante sea más fácil de integrar.

En la siguiente  tabla podemos observar algunos cambios de variables  ya recopilados que utilizaremos para resolver la mayoría  de integrales que se nos presenten

cambios de variable recomendados para integrales

Ejemplo

\displaystyle \int{\sqrt{5x+3}dx}

Si observamos, y queremos separar la integral como se hizo en el paso anterior es prácticamente imposible, pues no podemos recurrir a ningún paso algebraico para hacerlo.

Entonces debemos pensar qué necesitamos para poder hacerlo.

Bien…. Lo que se hace en estos casos, es tomar como un todo lo que tenemos dentro de la raíz, es decir, asignarle un variable a 5x +3.

Normalmente en los libros le colocan la letra U por lo que haremos lo mismo.

\displaystyle u=5x+3

Ahora, vamos a ver como queda en la integral.

\displaystyle \int{\sqrt{5x+3}dx=}\int{\sqrt{u}dx}

El problema que tenemos ahora, es que la integral nos quedó expresada en términos de U pero su diferencial en dx , por lo que debemos de tenerla expresada en dU para poder proseguir al desarrollo.

Si derivamos a U en términos de “x” , esto nos quedaría.

\displaystyle \frac{du}{dx}(5x+3)=5

Despejando a “dU”

\displaystyle du=5dx

Pero podemos darnos cuenta que dU vale 5dx, para poder colocar ese coeficiente de 5 en nuestra integral, se recomienda no alterarla, es decir, multiplicar por la unidad, de la siguiente forma.

\displaystyle \int{\sqrt{u}\left( \frac{5}{5}dx \right)}

Mandamos a 1/5 al lado izquierdo de la integral, para que nos quede de la siguiente manera.

\displaystyle \frac{1}{5}\int{\sqrt{u}\cdot 5dx}

Pero como ya sabemos que \displaystyle du=5dx

\displaystyle \frac{1}{5}\int{\sqrt{u}du}

Ahora esto es más fácil de integrar con nuestro formulario

\displaystyle \frac{1}{5}\int{\sqrt{u}du}=\frac{1}{5}\left( \frac{{{u}^{\frac{1}{2}+1}}}{\frac{1}{2}+1} \right)+C=\frac{1}{5}\left( \frac{2{{u}^{\frac{3}{2}}}}{3} \right)+C=\frac{2}{15}{{u}^{\frac{3}{2}}}+C

Lo último que nos queda por hacer, es ordenar nuestra integral, y regresar el cambio de variable.

\displaystyle \int{\sqrt{5x+3}dx}=\frac{2}{15}{{\left( 5x+3 \right)}^{\frac{3}{2}}}+C

Que también la podemos expresar de la siguiente manera.

\displaystyle \int{\sqrt{5x+3}dx}=\frac{2}{15}\sqrt{{{\left( 5x+3 \right)}^{3}}}+C

problema resuelto