Un sólido de revolución es una figura sólida obtenida como consecuencia de hacer rotar una región plana alrededor de una recta cualquiera que esté contenida en el mismo plano. Una superficie de revolución es la superficie exterior de un sólido de revolución, es decir, encierra una porción de espacio dentro de la misma.

En esta pagina estaremos viendo los 3 métodos que son:

MÉTODO DE DISCO, MÉTODO DE ANILLOS Y MÉTODO DE CASCARONES

MÉTODO DE DISCO  

Este método consiste en algo así como “rebanar” el sólido en infinitos discos. Por ejemplo, si consideramos un cilindro, podemos “rebanarlo” en pequeñas porciones circulares. Al colocarlas todas juntas obtendremos el volumen del cilindro original. Para trabajar con el cálculo integral, es necesario que cada disco o “rebanada” tenga un grosor infinitesimal.

Recordemos que para calcular el volumen de un cilindro utilizaremos la siguiente formula

V=πr2ΔxV=πr2Δx  (área de la base por altura).

Resultado de imagen para calcular el volumen de un cilindro

Así que la formula que utilizaremos en este método de disco es

Resultado de imagen para formula metodo de disco

Este método sólo se puede aplicar cuando el sólido de revolución no tiene “huecos” interiores, es decir, cuando el eje de rotación está en el borde de la región plana

Ejemplo 1

Hallar el volumen del solido obtenido al hacer girar alrededor del eje x la región bajo la curva:
y = √x, de 0 a 1.

Solución:
el solido está entre x=0 y x = 1, graficamos y sacamos un disco (disco rosado).

El volumen de este disco será:

V= π (√x)² = πx

V= A(X) dx = πx dx = π calculado entre 0 y 1 = 

Ejemplo  2

Encuentre el volumen del solido obtenido al hacer girar la región limitada por
, y , alrededor del eje y.
-solución:

Tenemos que despejar a en términos de y así: 

Graficamos y sacamos el disco (disco rosado):

el volumen de este disco será:

calculado entre 0 y 8 

En el siguiente vídeo podemos ver un ejercicio sobre el método de discos

MÉTODO DE ANILLO

 En este método usaremos la siguiente formula
donde h es la altura, R es el radio externo o mayor, y r es el radio interno menor.
con esto usamos la integral para hallar el volumen:

veamos un ejemplo

Encuentre el volumen del solido obtenido al girar la región encerrada por las curvas
y= x y y= x² en torno al eje x.
-solución:
Primero tenemos que igualar las curvas para obtener sus puntos de intersección:
x=x²
x−x²=0
X (x−1)=0
x=0 y x=1

ya con los puntos de intersección graficamos y rotamos, sacando el anillo que nos resulta (anillo rosado)


En este punto tenemos que mirar cual es el radio externo y cual el interno
El radio interno es y= x² y el radio externo es y= x.

Ahora hallamos el volumen:

V=π (R²−r²) dx

V=π = calculado entre 0 y 1  nos queda de la siguiente forma: 

MÉTODO DE CASCARONES

Este metodo lo usamos para hallar volumenes de solidos cuando tenemos una funcion que al rotarla nos produce un solido hueco pero al querer usar el metodo de anillos solo contamos con solo radio y al sacar un anillo obtenemos un cilindro:
asi obtenemos la integral para hallar el volumen:

EJEMPLO:

la región acotada por la grafica de y= 2x−x ² alrededor del eje y¸ calcule el volumen del solido resultante.

-solución:

Graficamos y obtenemos:

Donde wi es el radio de él cascaron y el grueso es Axi, y la altura es y= 2x−x ² tenemos que el volumen del cascaron es:

2πWi(2Wi − Wi²) ∆Xi

 

V= 2π x(2x − x²) dx

V= 2π 

Calculado entre 0 y 8 

En el siguiente vídeo podemos observar otro ejemplo mas sobre el método de cascarones.